Menentukan komposisi dua fungsi dalam berbagai representasi.
Apa yang Akan Kamu Kuasai?
Komposisi dan invers fungsi membantu kita memahami proses bertahap, transformasi, serta hubungan dua arah antara masukan dan keluaran.
01
Matematika SMA/SMK Kelas 11
Komposisi dan Invers Fungsi
Pelajari bagaimana dua fungsi dapat bekerja secara berurutan melalui komposisi, kemudian pahami bagaimana suatu fungsi dapat dibalik menggunakan fungsi invers.
Alur Komposisi Fungsi
Masukan
x
→
Fungsi g
g(x)
→
Fungsi f
f(g(x))
Komposisi
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
Fungsi
x → f(x)
⇄
Invers
f(x) → x
Tujuan Pembelajaran
Menentukan domain yang sesuai pada fungsi komposisi.
Menentukan invers suatu fungsi yang memiliki invers.
Memeriksa hubungan fungsi dan inversnya melalui komposisi.
Fungsi Dikerjakan Secara Berurutan
Komposisi dua fungsi berarti keluaran dari satu fungsi digunakan sebagai masukan bagi fungsi berikutnya.
f setelah g
(f ∘ g)(x) = f(g(x))Kerjakan g terlebih dahulu, kemudian hasilnya dimasukkan ke fungsi f.
g setelah f
(g ∘ f)(x) = g(f(x))Kerjakan f terlebih dahulu, kemudian hasilnya dimasukkan ke fungsi g.
Perhatikan:
secara umum
f ∘ g ≠ g ∘ f.
Urutan komposisi sangat penting.
Contoh Komposisi
Tentukan (f ∘ g)(x)
Diberikan:
f(x) = 2x + 3
g(x) = x²
Langkah 1
Definisi
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
→
Langkah 2
Substitusi g(x)=x²
f(x²)
→
Hasil
Ganti x pada f dengan x²
2x² + 3
Hasil Dapat Berbeda
f(g(x))
= 2x² + 1
g(f(x))
= (2x+1)²
= 4x²+4x+1
Komposisi Harus Terdefinisi
Pada f(g(x)), nilai x harus berada dalam domain g, dan nilai g(x) harus dapat diterima sebagai masukan fungsi f.
x
harus termasuk domain g
→
g(x)
harus termasuk domain f
→
f(g(x))
terdefinisi
Contoh
Jika f(x)=√x dan g(x)=x−2, maka
(f ∘ g)(x)=√(x−2)Agar nilai real, diperlukan:
x − 2 ≥ 0 sehingga x ≥ 2.
Fungsi Invers
Membalik Proses Suatu Fungsi
Jika fungsi f membawa x menjadi y, maka inversnya membawa y kembali menjadi x.
y = f(x)
x = f⁻¹(y)
Fungsi
x
→
f
y
⇄
f⁻¹
x
Empat Langkah Dasar
Tulis y = f(x)
Ubah notasi fungsi menjadi persamaan dalam x dan y.
Tukar x dan y
Pertukaran ini merepresentasikan pembalikan masukan dan keluaran.
Selesaikan untuk y
Lakukan manipulasi aljabar hingga y menjadi subjek persamaan.
Tulis f⁻¹(x)
Ganti y dengan notasi fungsi invers.
Contoh Invers
Tentukan Invers f(x)=2x+3
Karena fungsi linear ini memiliki gradien tidak nol, fungsi bersifat satu-satu pada bilangan real dan memiliki invers.
1
y = 2x + 3
2
x = 2y + 3
3
x − 3 = 2y
4
y = (x−3)/2
Invers
f⁻¹(x) = (x−3)/2
Fungsi Harus Satu-Satu
Agar invers juga merupakan fungsi, setiap nilai keluaran harus berasal dari paling banyak satu nilai masukan.
✓
Satu-satu
f(x)=2x+1
Setiap nilai keluaran berasal dari satu nilai x. Fungsi memiliki invers pada domain bilangan real.
×
Tidak satu-satu pada ℝ
f(x)=x²
Misalnya f(2)=4 dan f(−2)=4. Karena satu keluaran memiliki dua masukan, inversnya bukan fungsi jika domain tidak dibatasi.
Fungsi
f(x)=x²
dapat mempunyai invers
apabila domain dibatasi,
misalnya
x ≥ 0.
Pada domain tersebut:
f⁻¹(x)=√x.
Uji Garis Horizontal
Cara Visual Memeriksa Fungsi Satu-Satu
Sebuah fungsi satu-satu akan dipotong paling banyak satu kali oleh setiap garis horizontal.
Garis horizontal memotong grafik tepat satu kali, sehingga fungsi linear tersebut satu-satu.
Komposisinya Menghasilkan Fungsi Identitas
f⁻¹(f(x)) = x
f(f⁻¹(x)) = x
Contoh
f(x)=2x+3
f⁻¹(x)=(x−3)/2
f⁻¹(f(x))
=
((2x+3)−3)/2
=
2x/2
=
x
Grafik Fungsi dan Invers
Refleksi terhadap Garis y = x
Grafik fungsi dan grafik inversnya saling merupakan pencerminan terhadap garis y = x.
f(x)
f⁻¹(x)
y=x
Kesalahan yang Sering Terjadi
Umumnya f ∘ g tidak sama dengan g ∘ f. Urutan pengerjaan harus diperhatikan.
Notasi f⁻¹ berarti fungsi invers, bukan kebalikan pecahan dari nilai fungsi.
Tidak setiap fungsi mempunyai invers yang juga merupakan fungsi.
Domain fungsi komposisi dan invers perlu diperiksa agar operasi tetap terdefinisi.
Lima Langkah Menyelesaikan Soal
Identifikasi Fungsi
Catat aturan setiap fungsi yang diberikan.
Perhatikan Urutan
Tentukan fungsi yang dikerjakan terlebih dahulu.
Substitusi
Masukkan keluaran fungsi pertama ke fungsi berikutnya.
Periksa Domain
Pastikan setiap nilai masukan menghasilkan operasi yang terdefinisi.
Verifikasi
Untuk invers, periksa apakah komposisinya menghasilkan x.
Eksplorasi Komposisi dan Invers
Gunakan aktivitas berikut untuk melihat proses fungsi secara bertahap dan memeriksa sifat invers.
Aktivitas 1
Mesin Komposisi Fungsi
Gunakan fungsi linear f(x)=ax+b dan g(x)=cx+d, kemudian bandingkan f ∘ g dengan g ∘ f.
Fungsi f(x)=ax+b
Fungsi g(x)=cx+d
Fungsi
f(x)=2x+1
dan
g(x)=3x−2
→
Langkah Pertama
g(4)=10
→
Hasil
f(10)=21
Aktivitas 2
Eksplorasi Fungsi Invers
Bentuk fungsi linear f(x)=ax+b dengan a ≠ 0, kemudian periksa apakah invers mengembalikan nilai awal.
Fungsi
f(x)=2x+3
Fungsi Invers
f⁻¹(x)=(x−3)/2
f(x)
f(5)=13
f⁻¹(f(x))
f⁻¹(13)=5
Coba Kerjakan
Diberikan f(x)=2x+1 dan g(x)=x−3. Tentukan (f ∘ g)(x).
Lihat Jawaban
f(g(x)) = f(x−3) = 2(x−3)+1 = 2x−6+1 = 2x−5.
Dengan fungsi yang sama, tentukan (g ∘ f)(x).
Lihat Jawaban
g(f(x)) = g(2x+1) = (2x+1)−3 = 2x−2.
Tentukan invers dari f(x)=3x−6.
Lihat Jawaban
y=3x−6. Tukar x dan y: x=3y−6. Maka: x+6=3y, sehingga f⁻¹(x)=(x+6)/3 .
Apakah f(x)=x² memiliki fungsi invers pada seluruh bilangan real?
Lihat Jawaban
Tidak. Karena f(2)=4 dan f(−2)=4, fungsi tidak satu-satu pada seluruh bilangan real.
Kuis
Periksa Pemahamanmu
01
Bentuk (f ∘ g)(x) berarti...
02
Notasi f⁻¹(x) menyatakan...
03
Jika f(x)=2x+4, maka f⁻¹(x) adalah...
04
Jika f memiliki invers, maka f⁻¹(f(x)) sama dengan...
Ringkasan
Komposisi dan Invers Fungsi
✓ (f ∘ g)(x) berarti f(g(x)).
✓ Secara umum, f ∘ g tidak sama dengan g ∘ f.
✓ Domain komposisi harus membuat seluruh proses tetap terdefinisi.
✓ Fungsi invers membalik hubungan masukan dan keluaran.
✓ Fungsi harus satu-satu agar mempunyai invers yang juga merupakan fungsi.
✓ f⁻¹(f(x))=x dan f(f⁻¹(x))=x.