Menentukan pengaruh translasi horizontal dan vertikal terhadap grafik fungsi.
Apa yang Akan Kamu Kuasai?
Transformasi fungsi memungkinkan kita memprediksi perubahan grafik tanpa harus menggambar semuanya dari awal.
01
Matematika SMA/SMK Kelas 12
Transformasi Fungsi
Pelajari bagaimana perubahan pada persamaan fungsi menggeser, mencerminkan, meregangkan, atau menyusutkan grafik tanpa kehilangan hubungan dengan fungsi dasarnya.
Dari Fungsi Dasar ke Fungsi Baru
Dasar
f(x)
→
Transformasi
a, b, h, k
→
Hasil
g(x)
Bentuk Umum
g(x) = a f(b(x − h)) + k
Tujuan Pembelajaran
Menentukan pengaruh refleksi terhadap sumbu-x dan sumbu-y.
Menjelaskan peregangan dan penyusutan secara vertikal maupun horizontal.
Menganalisis transformasi gabungan dalam bentuk g(x)=a f(b(x−h))+k.
Transformasi Dimulai dari Grafik Acuan
Kita dapat menggunakan fungsi sederhana sebagai grafik dasar, kemudian mengubah posisi dan bentuknya.
Grafik berbentuk parabola dengan titik puncak di titik asal.
Grafik berbentuk V dan simetris terhadap sumbu-y.
Grafik hanya terdefinisi untuk x ≥ 0 pada fungsi dasar.
Grafik berupa garis lurus yang melalui titik asal.
Menggeser Grafik Tanpa Mengubah Bentuk
Jika k > 0, grafik bergeser ke atas sejauh k satuan.
Jika k > 0, grafik bergeser ke bawah sejauh k satuan.
Jika h > 0, grafik bergeser ke kanan sejauh h satuan.
Jika h > 0, grafik bergeser ke kiri sejauh h satuan.
Perhatikan tanda:
perubahan horizontal
terlihat berlawanan dengan tanda
yang berada di dalam fungsi.
f(x−3)
bergeser ke kanan 3 satuan,
bukan ke kiri.
Contoh Translasi
Dari y=x² menjadi y=(x−3)²+2
Fungsi dasar:
f(x)=x²
Fungsi hasil:
g(x)=(x−3)²+2
1
x → x−3
→
Geser grafik 3 satuan ke kanan.
2
+2
→
Geser grafik 2 satuan ke atas.
Hasil
Puncak (3,2)
Mencerminkan Grafik
Setiap titik (x,y) berubah menjadi (x,−y).
Setiap titik (x,y) berubah menjadi (−x,y).
Contoh Refleksi
f(x)=√x
Refleksi terhadap sumbu-x:
g(x)=−√x
Refleksi terhadap sumbu-y:
h(x)=√(−x)
Titik Awal
(4,2)
Refleksi Sumbu-x
(4,−2)
Refleksi Sumbu-y
(−4,2)
Mengubah Skala Grafik
Nilai y dikalikan a. Jika |a| > 1, grafik meregang vertikal. Jika 0 < |a| < 1, grafik menyusut vertikal.
Skala horizontal berubah dengan faktor 1/|b|. Jika |b| > 1, grafik menyusut horizontal.
a > 1
Regang vertikal
0 < a < 1
Susut vertikal
b > 1
Susut horizontal
0 < b < 1
Regang horizontal
Jika a negatif
Skala Vertikal Sekaligus Refleksi
Pada g(x)=a f(x), jika a<0, selain perubahan skala vertikal, grafik juga direfleksikan terhadap sumbu-x.
Jika b negatif
Skala Horizontal Sekaligus Refleksi
Pada g(x)=f(bx), jika b<0, selain perubahan skala horizontal, grafik juga direfleksikan terhadap sumbu-y.
Satu Persamaan, Beberapa Transformasi
g(x)=a f(b(x−h))+k
Skala Vertikal
Mengubah tinggi grafik. Tanda negatif juga menyebabkan refleksi sumbu-x.
Skala Horizontal
Faktor skala horizontal adalah 1/|b|. Tanda negatif juga menyebabkan refleksi sumbu-y.
Translasi Horizontal
h positif memindahkan grafik ke kanan.
Translasi Vertikal
k positif memindahkan grafik ke atas.
Contoh Gabungan
g(x)=2(x−3)²+1
Gunakan fungsi dasar:
f(x)=x²
h = 3
Kanan 3
a = 2
Regang Vertikal ×2
k = 1
Naik 1
Titik Puncak
(3,1)
Apa yang Terjadi pada Setiap Titik Grafik?
Jika (u,v) berada pada y=f(x),
maka pada
g(x)=a f(b(x−h))+k
titiknya menjadi:
(h + u/b, k + av)
Transformasi Juga Dapat Mengubah Batas Grafik
Domain dasar: x ≥ 0.
Domain berubah menjadi: x ≥ 4.
Domain berubah menjadi: x ≤ 0.
Kesalahan yang Sering Terjadi
f(x−3) bergeser ke kanan, sedangkan f(x+3) bergeser ke kiri.
−f(x) adalah refleksi terhadap sumbu-x, sedangkan f(−x) terhadap sumbu-y.
Pada f(bx), faktor skala horizontal adalah 1/|b|, bukan |b|.
Beberapa fungsi, seperti akar, memiliki batas domain yang ikut berubah setelah transformasi.
Lima Langkah Membaca Transformasi Fungsi
Kenali Fungsi Dasar
Tentukan bentuk grafik f(x) sebelum transformasi.
Periksa Bagian Dalam
Identifikasi nilai b dan h pada argumen fungsi.
Periksa Bagian Luar
Identifikasi nilai a dan k di luar fungsi.
Tentukan Arah
Catat translasi, refleksi, dan perubahan skala.
Periksa Titik Penting
Gunakan titik puncak, titik potong, atau titik acuan untuk memverifikasi.
Eksplorasi Transformasi secara Visual
Ubah parameter fungsi dan amati perubahan grafik serta pemetaan titik secara langsung.
Aktivitas 1
Eksplorasi Grafik Transformasi
Bentuk fungsi: g(x)=a f(b(x−h))+k
Fungsi Dasar
f(x)=x²
Fungsi Hasil
g(x)=f(x−2)+1
Fungsi Dasar
Fungsi Hasil
Aktivitas 2
Pemetaan Titik Grafik
Gunakan aturan (u,v) → (h+u/b, k+av) untuk melihat perpindahan sebuah titik.
Titik Awal
Parameter Transformasi
Titik Awal
(2,4)
→
Koordinat x Baru
3 + 2/1 = 5
→
Koordinat y Baru
1 + 2(4) = 9
→
Titik Hasil
(5,9)
Coba Kerjakan
Jika g(x)=f(x−4), bagaimana posisi grafik g dibandingkan grafik f?
Lihat Jawaban
Grafik bergeser 4 satuan ke kanan.
Jika g(x)=−f(x)+3, transformasi apa yang terjadi?
Lihat Jawaban
Grafik f direfleksikan terhadap sumbu-x, kemudian digeser 3 satuan ke atas.
Jika g(x)=f(2x), berapa faktor skala horizontalnya?
Lihat Jawaban
Faktor skala horizontal: 1/2. Grafik mengalami penyusutan horizontal.
Titik (2,4) berada pada grafik f. Jika g(x)=2f(x−3)+1, tentukan titik hasil transformasi.
Lihat Jawaban
a=2, b=1, h=3, k=1. Maka: x baru = 3 + 2/1 = 5, y baru = 1 + 2(4) = 9. Jadi titik hasil: (5,9).
Kuis
Periksa Pemahamanmu
01
Grafik g(x)=f(x−4) merupakan grafik f yang digeser...
02
Grafik g(x)=f(x)+3 diperoleh dengan...
03
Bentuk g(x)=−f(x) menunjukkan...
04
Pada g(x)=2f(x), grafik mengalami...
Ringkasan
Transformasi Fungsi
✓ f(x−h) menggeser grafik ke kanan sejauh h.
✓ f(x)+k menggeser grafik ke atas sejauh k.
✓ −f(x) adalah refleksi terhadap sumbu-x.
✓ f(−x) adalah refleksi terhadap sumbu-y.
✓ af(x) mengubah skala vertikal dengan faktor |a|.
✓ f(bx) mengubah skala horizontal dengan faktor 1/|b|.
✓ Bentuk umum transformasi dapat ditulis g(x)=a f(b(x−h))+k.
✓ Titik (u,v) berubah menjadi (h+u/b, k+av).