Operasi Aljabar Polinomial

Operasi Dasar pada Polinomial

Penjumlahan dan Pengurangan Polinomial

Penjumlahan dan pengurangan polinomial dilakukan dengan menjumlahkan atau mengurangkan suku-suku yang sejenis (memiliki variabel dan pangkat yang sama).

Langkah-langkah Penjumlahan/Pengurangan:

1 Kelompokkan suku sejenis

2 Jumlahkan/ kurangkan koefisien suku sejenis

3 Tulis hasil dalam bentuk standar

Contoh Penjumlahan:

Diketahui: P(x) = 2x³ + 3x² - x + 5 dan Q(x) = x³ - 2x² + 4x - 1

P(x) + Q(x) = (2x³ + x³) + (3x² - 2x²) + (-x + 4x) + (5 - 1)

= 3x³ + x² + 3x + 4

Contoh Pengurangan:

P(x) - Q(x) = (2x³ - x³) + (3x² - (-2x²)) + (-x - 4x) + (5 - (-1))

= x³ + 5x² - 5x + 6

Perkalian Polinomial

Perkalian polinomial menggunakan sifat distributif. Setiap suku dari polinomial pertama dikalikan dengan setiap suku dari polinomial kedua.

Contoh Perkalian:

(2x + 3)(x² - x + 1) = 2x(x² - x + 1) + 3(x² - x + 1)

= 2x³ - 2x² + 2x + 3x² - 3x + 3

= 2x³ + x² - x + 3

Metode FOIL untuk Binomial:

Untuk perkalian dua binomial, gunakan metode FOIL:

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

F - First (a × c)
O - Outer (a × d)
I - Inner (b × c)
L - Last (b × d)

Pembagian Polinomial

Pembagian Biasa

Mirip dengan pembagian bilangan, dilakukan bertahap sampai derajat sisa lebih kecil dari pembagi.

Contoh:

(x³ - 2x² + 3x - 1) ÷ (x - 1)

Pembagian Sintetik (Horner)

Metode cepat untuk pembagian oleh bentuk (x - k). Lebih efisien untuk perhitungan manual.

Contoh:

P(x) = 2x³ - 3x² + x - 1 dibagi (x - 2)

Langkah Pembagian Sintetik:

1 Tulis koefisien polinomial berderajat menurun

2 Tulis nilai k (dari x - k) di sebelah kiri

3 Bawa turun koefisien pertama

4 Kalikan dengan k, tambahkan ke koefisien berikutnya

5 Ulangi sampai selesai

Aplikasi dalam Pemrograman

Implementasi dalam Python:

# Penjumlahan polinomial
def add_polynomials(p1, p2):
    result = []
    max_len = max(len(p1), len(p2))
    
    for i in range(max_len):
        coef1 = p1[i] if i < len(p1) else 0
        coef2 = p2[i] if i < len(p2) else 0
        result.append(coef1 + coef2)
    
    return result

# Contoh penggunaan
poly1 = [2, 3, -1, 5]  # 2x³ + 3x² - x + 5
poly2 = [1, -2, 4, -1] # x³ - 2x² + 4x - 1
hasil = add_polynomials(poly1, poly2)
print(hasil)  # [3, 1, 3, 4] → 3x³ + x² + 3x + 4

Dalam Jaringan Komputer:

Operasi polinomial digunakan dalam algoritma CRC (Cyclic Redundancy Check) untuk deteksi error. Data dianggap sebagai koefisien polinomial, kemudian dilakukan operasi modulo dengan polinomial generator.

Kalkulator Penjumlahan Polinomial

Masukkan koefisien polinomial (dari pangkat tertinggi ke terendah), pisahkan dengan koma:

Progress Bab 1: 60%

Kuis Operasi Aljabar Polinomial

Jawablah pertanyaan berikut untuk menguji pemahaman Anda!

1. Hasil dari (2x² + 3x - 1) + (x² - 2x + 4) adalah...

A. 3x² + x + 3
B. 3x² + 5x + 3
C. x² + x + 3
D. 3x² + x - 3

2. Hasil dari (3x - 2)(2x + 1) adalah...

A. 6x² - x - 2
B. 6x² + 7x - 2
C. 6x² - x + 2
D. 6x² + x - 2

3. Metode FOIL digunakan untuk...

A. Pembagian polinomial
B. Perkalian dua binomial
C. Penjumlahan polinomial
D. Pengurangan polinomial

4. Pembagian sintetik (Horner) digunakan untuk pembagian oleh...

A. (x² + 1)
B. (x - k)
C. (ax² + bx + c)
D. Semua bentuk pembagi

5. Dalam algoritma CRC, operasi polinomial digunakan untuk...

A. Kompresi data
B. Enkripsi data
C. Deteksi error
D. Optimasi jaringan

6. Hasil dari (x³ - 2x² + 3) - (2x³ + x - 1) adalah...

A. -x³ - 2x² - x + 4
B. -x³ - 2x² - x + 2
C. -x³ - 2x² + x + 4
D. x³ - 2x² - x + 4

MATERI 3: OPERASI ALJABAR POLINOMIAL