MATERI 4: TEOREMA SISA DAN FAKTOR

SMK TKJ Kelas XI - Bab 1: Polinomial

Konsep Dasar Teorema Sisa dan Faktor

Teorema Sisa

TEOREMA SISA

Jika polinomial P(x) dibagi oleh (x - k), maka sisa pembagiannya adalah P(k).

P(x) = (x - k) · H(x) + S, dimana S = P(k)

Contoh 1: Tentukan sisa pembagian P(x) = 2x³ - 3x² + x - 1 oleh (x - 2)

Penyelesaian:

Sisa = P(2) = 2(2)³ - 3(2)² + 2 - 1

= 2(8) - 3(4) + 2 - 1

= 16 - 12 + 2 - 1 = 5

Jadi, sisa pembagian adalah 5

Contoh 2: Tentukan sisa pembagian P(x) = x⁴ - 2x² + 3x - 1 oleh (x + 1)

Penyelesaian:

Karena dibagi (x + 1) = (x - (-1)), maka k = -1

Sisa = P(-1) = (-1)⁴ - 2(-1)² + 3(-1) - 1

= 1 - 2(1) - 3 - 1 = 1 - 2 - 3 - 1 = -5

Teorema Faktor

TEOREMA FAKTOR

(x - k) adalah faktor dari polinomial P(x) jika dan hanya jika P(k) = 0.

(x - k) faktor P(x) ⇔ P(k) = 0

Langkah-langkah Menentukan Faktor Polinomial:

1 Cari nilai k yang mungkin (faktor dari konstanta dibagi faktor dari koefisien utama)
2 Substitusi k ke P(x) menggunakan teorema sisa
3 Jika P(k) = 0, maka (x - k) adalah faktor
4 Lakukan pembagian untuk mendapatkan faktor lainnya

Contoh: Tentukan apakah (x - 2) merupakan faktor dari P(x) = x³ - 3x² + 4

Penyelesaian:

P(2) = (2)³ - 3(2)² + 4 = 8 - 12 + 4 = 0

Karena P(2) = 0, maka (x - 2) adalah faktor dari P(x)

Menentukan Faktor Polinomial

Contoh Lengkap: Tentukan semua faktor dari P(x) = x³ - 2x² - 5x + 6

Langkah 1: Cari nilai k yang mungkin

Faktor dari 6: ±1, ±2, ±3, ±6

Langkah 2: Coba nilai k

P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0 → (x - 1) faktor

P(-1) = -1 - 2 + 5 + 6 = 8 ≠ 0

P(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4 ≠ 0

P(-2) = -8 - 8 + 10 + 6 = 0 → (x + 2) faktor

P(3) = 27 - 18 - 15 + 6 = 0 → (x - 3) faktor

Langkah 3: Faktorisasi lengkap

P(x) = (x - 1)(x + 2)(x - 3)

Aplikasi dalam Teknologi

Error Correction

Teorema faktor digunakan dalam kode Reed-Solomon untuk koreksi error pada CD, DVD, dan komunikasi satelit.

Kriptografi

Dalam algoritma kriptografi, teorema sisa digunakan untuk operasi modulo pada polinomial.

Kompresi Data

Faktorisasi polinomial membantu dalam algoritma kompresi data yang efisien.

Implementasi dalam Python:

# Fungsi untuk mengecek faktor menggunakan teorema faktor
def is_factor(poly, k):
    """Cek apakah (x - k) adalah faktor dari polinomial"""
    result = 0
    for i, coef in enumerate(poly):
        result += coef * (k ** (len(poly) - 1 - i))
    return result == 0

# Contoh penggunaan
poly = [1, -2, -5, 6]  # x³ - 2x² - 5x + 6
k = 1
if is_factor(poly, k):
    print(f"(x - {k}) adalah faktor")
else:
    print(f"(x - {k}) bukan faktor")

# Output: (x - 1) adalah faktor

Kalkulator Teorema Sisa

Masukkan koefisien polinomial (dari pangkat tertinggi ke terendah) dan nilai k:

Pembagian Sintetik (Horner)

Masukkan koefisien dan nilai k untuk melihat proses pembagian sintetik:

Progress Bab 1: 80%
Sebelumnya Selanjutnya

Kuis Teorema Sisa dan Faktor

Jawablah pertanyaan berikut untuk menguji pemahaman Anda!

1. Jika P(x) = x³ - 2x² + 3x - 1 dibagi (x - 1), maka sisanya adalah...

  • A. 1
  • B. -1
  • C. 2
  • D. 0

2. Manakah pernyataan yang benar tentang teorema faktor?

  • A. (x - k) faktor jika P(k) = 1
  • B. (x - k) faktor jika P(k) ≠ 0
  • C. (x - k) faktor jika P(k) = 0
  • D. (x + k) faktor jika P(k) = 0

3. Diketahui P(x) = 2x³ - x² - 7x + 6. Manakah yang merupakan faktor dari P(x)?

  • A. (x - 1)
  • B. (x + 1)
  • C. (x - 3)
  • D. (x + 3)

4. Jika P(x) dibagi (x + 2) bersisa 3, maka P(-2) = ...

  • A. 0
  • B. 2
  • C. 3
  • D. -2

5. Untuk menentukan faktor polinomial, langkah pertama adalah...

  • A. Mencari nilai k yang mungkin
  • B. Melakukan pembagian
  • C. Menyederhanakan polinomial
  • D. Mencari turunan

6. Dalam teknologi, teorema faktor banyak digunakan untuk...

  • A. Error detection dan correction
  • B. Menghitung kecepatan processor
  • C. Mengukur bandwidth
  • D. Menentukan IP address