Bab 2: Matriks

Bentuk Umum SPLDV

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel terdiri dari dua persamaan linear dengan dua variabel yang tidak diketahui.

ax + by = p

cx + dy = q

Dimana:

x dan y adalah variabel yang ingin dicari
a, b, c, d adalah koefisien
p dan q adalah konstanta

Mengubah SPLDV ke Bentuk Matriks

SPLDV dapat ditulis dalam bentuk persamaan matriks:

A × X = B

Dimana:

A =

a	b
c	d

(Matriks koefisien)

X =

x

y

(Matriks variabel)

B =

p

q

(Matriks konstanta)

Penyelesaian dengan Invers Matriks

Jika A memiliki invers, maka solusi SPLDV dapat dicari dengan:

X = A⁻¹ × B

Contoh: Selesaikan SPLDV berikut:

2x + 3y = 13

x + 2y = 8

Langkah 1: Ubah ke bentuk matriks

2	3
1	2

×

x

y

=

13

8

Langkah 2: Hitung invers matriks A

A =

2	3
1	2

det(A) = (2×2) - (3×1) = 4 - 3 = 1

A⁻¹ = ¹/₁ ×

2	-3
-1	2

=

2	-3
-1	2

Langkah 3: Hitung X = A⁻¹ × B

x

y

=

2	-3
-1	2

×

13

8

x = (2×13) + (-3×8) = 26 - 24 = 2

y = (-1×13) + (2×8) = -13 + 16 = 3

Langkah 4: Verifikasi solusi

2(2) + 3(3) = 4 + 9 = 13 ✓

1(2) + 2(3) = 2 + 6 = 8 ✓

Jadi, solusinya adalah x = 2 dan y = 3

Kondisi Khusus SPLDV

1. SPLDV Memiliki Solusi Tunggal

Jika det(A) ≠ 0, maka SPLDV memiliki tepat satu solusi.

2. SPLDV Tidak Memiliki Solusi

Jika det(A) = 0 dan matriks diperbesar [A|B] memiliki rank berbeda.

3. SPLDV Memiliki Banyak Solusi

Jika det(A) = 0 dan matriks diperbesar [A|B] memiliki rank sama.

Aplikasi TKJ: Optimasi Jaringan dan Alokasi Resource

Dalam Teknik Komputer dan Jaringan, SPLDV dengan matriks digunakan untuk:

1. Optimasi Alokasi Bandwidth

Menentukan alokasi bandwidth optimal untuk multiple service:

Studi Kasus: Alokasi bandwidth untuk VoIP dan Data

0.1x + 0.05y = 100 (Bandwidth total 100 Mbps)

x + y = 1500 (Total koneksi 1500)

Dimana x = koneksi VoIP, y = koneksi Data

2. Load Balancing Server

Distribusi beban kerja antar server:

Studi Kasus: Distribusi request web server

x + y = 1000 (Total request 1000/detik)

2x + 3y = 2400 (Kapasitas processing)

Dimana x = request ke Server A, y = request ke Server B

3. Optimasi Power Consumption

Menentukan konfigurasi optimal untuk efisiensi daya:

Studi Kasus: Pengaturan mode power router

20x + 15y = 500 (Total power budget 500W)

x + y = 30 (Total perangkat 30)

Dimana x = router mode high-performance, y = router mode power-saving

4. Analisis Traffic Jaringan

Pemodelan lalu lintas data dalam jaringan:

Contoh Implementasi:

Traffic dari Node A ke Node C melalui Node B:

x = a + b (Traffic masuk Node B)

y = c + d (Traffic keluar Node B)

Dengan constraint bandwidth:

0.8x + 0.2y ≤ 100 (Bandwidth maksimal)

x - y = 0 (Keseimbangan traffic)

Latihan Praktis

Soal: Sebuah ISP ingin mengoptimalkan alokasi bandwidth untuk layanan gaming dan streaming. Diketahui:

5x + 3y = 2100 (Total bandwidth 2100 Mbps)

2x + 4y = 1600 (Minimum requirement)

Dimana x = bandwidth gaming (Mbps), y = bandwidth streaming (Mbps)

Penyelesaian:

Bentuk matriks:

5	3
2	4

×

x

y

=

2100

1600

det(A) = (5×4) - (3×2) = 20 - 6 = 14

A⁻¹ = ¹/₁₄ ×

4	-3
-2	5

x

y

= ¹/₁₄ ×

4	-3
-2	5

×