Mengidentifikasi pusat, jari-jari, diameter, tali busur, busur, dan juring.
Apa yang Akan Kamu Kuasai?
Geometri lingkaran menghubungkan ukuran sudut dengan panjang, luas, dan sifat-sifat garis pada lingkaran.
02
Matematika SMA/SMK Kelas 11
Lingkaran
Pelajari hubungan antara jari-jari, diameter, busur, juring, sudut pusat, sudut keliling, dan garis singgung dalam geometri lingkaran.
Geometri Lingkaran
Keliling
K = 2πr
Luas
L = πr²
Diameter
d = 2r
Tujuan Pembelajaran
Menjelaskan hubungan sudut pusat dengan sudut keliling.
Menentukan panjang busur dan luas juring dari sudut pusat tertentu.
Menggunakan sifat garis singgung untuk menyelesaikan masalah geometri.
Kenali Bagian-Bagian Lingkaran
Setiap unsur mempunyai peran berbeda dalam hubungan geometri pada lingkaran.
Titik O
Titik yang mempunyai jarak sama ke seluruh titik pada lingkaran.
r
Ruas garis dari pusat ke sebuah titik pada lingkaran.
d = 2r
Tali busur yang melalui pusat dan panjangnya dua kali jari-jari.
Chord
Ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.
Arc
Bagian keliling lingkaran yang terletak antara dua titik.
Sector
Daerah yang dibatasi oleh dua jari-jari dan sebuah busur.
Keliling dan Luas Lingkaran
Keliling merupakan panjang keseluruhan batas lingkaran.
Luas menunjukkan ukuran daerah di dalam lingkaran.
Diameter selalu dua kali panjang jari-jari.
Sudut Pusat dan Sudut Keliling
Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, besar sudut pusat adalah dua kali sudut keliling.
Titik sudut berada di pusat
∠AOB = θKedua kaki sudut merupakan jari-jari lingkaran.
Titik sudut berada pada lingkaran
∠ACB = ½θSudut keliling yang menghadap busur AB besarnya setengah sudut pusat AOB.
∠AOB = 2 × ∠ACB
Teorema Penting
Sudut Keliling yang Menghadap Diameter
Diameter membentuk sudut pusat 180°. Karena sudut keliling yang menghadap busur sama bernilai setengah sudut pusat, maka:
½ × 180° = 90°
Sudut keliling = 90°
Bagian dari Satu Lingkaran Penuh
Sudut pusat θ menentukan proporsi panjang busur dan luas juring terhadap lingkaran penuh.
Busur merupakan bagian dari keliling yang bersesuaian dengan sudut pusat θ.
Juring merupakan bagian dari luas lingkaran yang bersesuaian dengan sudut pusat θ.
Contoh
Lingkaran dengan r = 7 dan θ = 90°
Karena 90° merupakan seperempat dari 360°, busur dan juringnya juga merupakan seperempat lingkaran.
Panjang Busur
90/360 × 2π(7)
= 7π/2
Luas Juring
90/360 × π(7²)
= 49π/4
Garis Singgung
Jari-jari Tegak Lurus Garis Singgung
Garis singgung menyentuh lingkaran tepat pada satu titik. Jari-jari yang melalui titik singgung tersebut tegak lurus garis singgung.
OT ⟂ garis singgung
Dua Garis Singgung dari Satu Titik Luar
Titik luar
P
→
Garis singgung pertama
PA
=
Garis singgung kedua
PB
PA = PB
Lingkaran dalam Kehidupan dan Teknologi
Jarak Tempuh
Setiap satu putaran roda menempuh jarak sebesar keliling roda.
Sudut Putaran
Gerak jarum jam dapat dianalisis menggunakan sudut pusat.
Komponen Rotasi
Roda gigi, puli, rotor, dan bantalan menggunakan geometri lingkaran.
Busur dan Lengkungan
Konsep busur dan lingkaran digunakan dalam arsitektur, grafis, serta konstruksi.
Kesalahan yang Sering Terjadi
Diameter adalah dua kali jari-jari, sehingga d = 2r.
Untuk busur yang sama, sudut pusat adalah dua kali sudut keliling.
Pada rumus busur dan juring, θ harus merupakan sudut pusat bagian yang sedang dihitung.
Sudut antara jari-jari dan garis singgung pada titik singgung selalu 90°.
Lima Langkah Menyelesaikan Soal Lingkaran
Identifikasi Unsur
Tentukan pusat, jari-jari, diameter, busur, atau garis singgung.
Tandai Sudut
Bedakan sudut pusat, sudut keliling, dan sudut siku-siku.
Pilih Hubungan
Gunakan sifat atau rumus yang sesuai.
Hitung
Substitusikan nilai secara sistematis dan perhatikan satuan.
Periksa
Pastikan panjang, luas, dan sudut masuk akal secara geometri.
Eksplorasi Geometri Lingkaran
Gunakan aktivitas berikut untuk menghubungkan jari-jari, sudut, panjang busur, luas juring, dan sudut keliling.
Aktivitas 1
Kalkulator Lingkaran dan Juring
Atur jari-jari dan sudut pusat, kemudian amati perubahan keliling, luas, panjang busur, dan luas juring.
Diameter
14
Keliling
43,982
Luas Lingkaran
153,938
Panjang Busur
10,996
Luas Juring
38,485
Aktivitas 2
Sudut Pusat dan Sudut Keliling
Ubah besar sudut pusat, kemudian amati sudut keliling yang menghadap busur yang sama.
Hubungan
sudut keliling =
½ × sudut pusat
Sudut Pusat
100°
Sudut Keliling
50°
Coba Kerjakan
Sebuah lingkaran memiliki jari-jari 10 cm. Tentukan diameternya.
Lihat Jawaban
d = 2r = 2(10) = 20 cm.
Sudut pusat yang menghadap busur AB adalah 120°. Berapa sudut keliling yang menghadap busur yang sama?
Lihat Jawaban
Sudut keliling = ½ × 120° = 60°.
Lingkaran berjari-jari 14 cm memiliki sudut pusat 90°. Tentukan panjang busurnya dalam bentuk π.
Lihat Jawaban
s = 90/360 × 2π(14) = 1/4 × 28π = 7π cm.
Jari-jari OT bertemu garis singgung pada titik T. Berapa besar sudut antara OT dan garis singgung?
Lihat Jawaban
Jari-jari tegak lurus garis singgung pada titik singgung. Jadi sudutnya 90°.
Kuis
Periksa Pemahamanmu
01
Hubungan diameter d dan jari-jari r adalah...
02
Jika sudut pusat 90°, sudut keliling yang menghadap busur sama adalah...
03
Rumus panjang busur dengan sudut pusat θ adalah...
04
Jari-jari pada titik singgung terhadap garis singgung bersifat...
Ringkasan
Lingkaran
✓ Diameter memenuhi d = 2r.
✓ Keliling lingkaran K = 2πr.
✓ Luas lingkaran L = πr².
✓ Sudut pusat adalah dua kali sudut keliling yang menghadap busur sama.
✓ Panjang busur = θ/360° × 2πr.
✓ Luas juring = θ/360° × πr².
✓ Jari-jari tegak lurus garis singgung pada titik singgung.
✓ Dua garis singgung dari satu titik luar mempunyai panjang yang sama.