Akar-akar polinomial (atau zeros/roots) adalah nilai-nilai variabel yang membuat polinomial bernilai nol.
Jika P(x) adalah polinomial, maka r disebut akar dari P(x) jika P(r) = 0.
Contoh: Untuk P(x) = x² - 5x + 6
P(2) = 4 - 10 + 6 = 0 → 2 adalah akar
P(3) = 9 - 15 + 6 = 0 → 3 adalah akar
Jadi akar-akarnya adalah x = 2 dan x = 3
Contoh 1: Polinomial Kuadrat
P(x) = x² - 5x + 6
Faktorisasi: (x - 2)(x - 3) = 0
Akar-akar: x = 2 dan x = 3
Contoh 2: Polinomial Kubik
P(x) = x³ - 3x² - x + 3
Faktorisasi: (x - 1)(x + 1)(x - 3) = 0
Akar-akar: x = 1, x = -1, dan x = 3
P(x) = ax² + bx + c = a(x - r₁)(x - r₂)
P(x) = ax³ + bx² + cx + d = a(x - r₁)(x - r₂)(x - r₃)
P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + a₁x + a₀
Contoh Aplikasi:
Diketahui polinomial x³ - 6x² + 11x - 6 memiliki akar-akar r₁, r₂, r₃
r₁ + r₂ + r₃ = -(-6)/1 = 6
r₁r₂ + r₁r₃ + r₂r₃ = 11/1 = 11
r₁ × r₂ × r₃ = -(-6)/1 = 6
Akar-akarnya: 1, 2, 3 (karena 1+2+3=6, 1×2+1×3+2×3=11, 1×2×3=6)
Contoh: Bentuk polinomial yang akar-akarnya 2, -1, dan 3
P(x) = a(x - 2)(x + 1)(x - 3)
Pilih a = 1 (biasanya):
P(x) = (x - 2)(x + 1)(x - 3)
= (x - 2)(x² - 2x - 3)
= x³ - 2x² - 3x - 2x² + 4x + 6
Dalam Pemrosesan Sinyal Digital:
Akar-akar polinomial digunakan dalam desain filter digital. Lokasi akar-akar menentukan karakteristik filter (low-pass, high-pass, band-pass).
Dalam Grafika Komputer:
Polinomial digunakan untuk kurva Bézier dalam desain grafis. Akar-akar membantu menentukan titik potong dan bentuk kurva.
Implementasi dalam Python:
import numpy as np
# Mencari akar-akar polinomial
def find_polynomial_roots(coefficients):
"""Mencari akar-akar polinomial menggunakan numpy"""
return np.roots(coefficients)
# Contoh: x³ - 6x² + 11x - 6
coefficients = [1, -6, 11, -6]
roots = find_polynomial_roots(coefficients)
print("Akar-akar:", roots)
# Membentuk polinomial dari akar-akar
def polynomial_from_roots(roots):
"""Membentuk polinomial dari akar-akar"""
return np.poly(roots)
# Contoh dari akar [1, 2, 3]
roots = [1, 2, 3]
poly_coeffs = polynomial_from_roots(roots)
print("Koefisien polinomial:", poly_coeffs)
# Output:
# Akar-akar: [3. 2. 1.]
# Koefisien polinomial: [ 1. -6. 11. -6.]
Masukkan koefisien polinomial (dari pangkat tertinggi ke terendah):
Masukkan akar-akar (pisahkan dengan koma):
Jawablah pertanyaan berikut untuk menguji pemahaman Anda!
1. Apa yang dimaksud dengan akar polinomial?
2. Jika polinomial x² - 5x + 6 memiliki akar r₁ dan r₂, berapa nilai r₁ + r₂?
3. Polinomial dengan akar-akar 1, -2, dan 3 adalah...
4. Untuk polinomial kubik ax³ + bx² + cx + d, hubungan akar-akarnya adalah...
5. Manakah yang merupakan akar dari P(x) = x³ - 3x² - x + 3?
6. Dalam teknologi, akar-akar polinomial digunakan untuk...