03 Matematika SMA/SMK Kelas 11

Statistika

Pelajari bagaimana dua variabel dapat dianalisis menggunakan diagram pencar, garis regresi, korelasi, dan koefisien determinasi untuk memahami pola serta membuat prediksi.

Mulai Materi Semua Materi

ŷ = a + bx Regresi Linear

−1 ≤ r ≤ 1 Korelasi

R² Determinasi

Data Bivariat

Tren Positif

Model Linear

Korelasi r > 0

01 Tujuan 02 Bivariat 03 Regresi 04 Residu 05 Prediksi 06 Korelasi 07 Aktivitas 08 Latihan 09 Kuis 10 Ringkasan

Tujuan Pembelajaran

Apa yang Akan Kamu Kuasai?

Pada materi ini, statistika tidak hanya digunakan untuk merangkum data, tetapi juga untuk memahami hubungan antara dua variabel kuantitatif.

Menggambar dan menginterpretasikan diagram pencar data bivariat.

Menentukan dan menginterpretasikan persamaan regresi linear.

Menggunakan regresi untuk interpolasi dan ekstrapolasi.

Menghitung dan menafsirkan korelasi Pearson serta koefisien determinasi.

Data Bivariat

Dua Variabel dalam Satu Pengamatan

Data bivariat terdiri atas pasangan nilai dari dua variabel, misalnya lama belajar dan nilai ujian.

Variabel X

Variabel Penjelas

Variabel yang digunakan untuk membantu menjelaskan atau memprediksi perubahan variabel lain.

Variabel Y

Variabel Respons

Variabel yang nilainya diamati dalam kaitannya dengan variabel x.

Pasangan Data

Titik (x, y)

(xᵢ, yᵢ)

Setiap pengamatan menghasilkan satu titik pada diagram pencar.

Diagram Pencar

Pola Hubungan Terlihat dari Titik Data

Korelasi Positif

Ketika x meningkat, y cenderung ikut meningkat.

Korelasi Negatif

Ketika x meningkat, y cenderung menurun.

Tidak Jelas

Titik tidak menunjukkan kecenderungan linear yang kuat.

Konsep Penting

Korelasi Tidak Selalu Berarti Sebab-Akibat

Dua variabel dapat bergerak bersama tanpa salah satunya secara langsung menyebabkan perubahan pada variabel lain. Mungkin terdapat faktor ketiga, kebetulan, atau struktur data lain.

Korelasi menunjukkan hubungan statistik

Kausalitas menunjukkan hubungan sebab-akibat

Regresi Linear

Garis yang Memodelkan Tren Data

Jika pola data cukup mendekati garis lurus, hubungan kedua variabel dapat dimodelkan menggunakan regresi linear.

ŷ = a + bx

Nilai Prediksi

Perkiraan nilai y yang diperoleh dari model regresi.

Intersep

Nilai prediksi y ketika x = 0.

Gradien

Perubahan prediksi y untuk setiap kenaikan satu satuan x.

Metode Kuadrat Terkecil

Menentukan Garis Regresi

Garis regresi dipilih agar jumlah kuadrat kesalahan vertikal antara data aktual dan nilai prediksi menjadi sekecil mungkin.

Gradien b = [nΣxy − (Σx)(Σy)] / [nΣx² − (Σx)²] Intersep a = ȳ − bx̄

Contoh Interpretasi

Persamaan ŷ = 50 + 5x

Intersep a = 50

Ketika x = 0, model memprediksi nilai y sebesar 50.

Gradien b = 5

Setiap kenaikan satu satuan x berkaitan dengan peningkatan prediksi y sebesar 5 satuan.

Prediksi x = 4 ŷ = 50 + 5(4)

Nilai prediksinya adalah 70.

Residu

Selisih Data Aktual dan Prediksi

Garis regresi tidak harus melalui setiap titik data. Selisih antara nilai aktual y dan prediksi ŷ disebut residu.

e = y − ŷ

Aktual y = 74

Prediksi ŷ = 70

Residu e = 74 − 70 = 4

Menggunakan Model

Interpolasi dan Ekstrapolasi

Interpolasi

Prediksi di Dalam Rentang Data

Nilai x yang diprediksi berada di antara nilai x minimum dan maksimum pada data pengamatan.

Ekstrapolasi

Prediksi di Luar Rentang Data

Prediksi dilakukan di luar data yang diamati. Ketidakpastian biasanya lebih tinggi.

Perhatian: model regresi menggambarkan kecenderungan pada data yang tersedia. Ekstrapolasi terlalu jauh dapat menghasilkan prediksi yang tidak masuk akal.

Korelasi Product Moment

Mengukur Arah dan Kekuatan Hubungan Linear

r = [nΣxy − (Σx)(Σy)] / √{[nΣx² − (Σx)²][nΣy² − (Σy)²]}

−1 Negatif sempurna

0 Tidak ada korelasi linear

+1 Positif sempurna

Interpretasi

Membaca Nilai r

r > 0 Hubungan Positif

Kedua variabel cenderung bergerak dalam arah yang sama.

r < 0 Hubungan Negatif

Kedua variabel cenderung bergerak dalam arah berlawanan.

|r| mendekati 1 Hubungan Linear Kuat

Titik data cenderung dekat dengan sebuah garis lurus.

|r| mendekati 0 Hubungan Linear Lemah

Tidak terdapat kecenderungan linear yang kuat.

Koefisien Determinasi

Seberapa Besar Variasi yang Dijelaskan?

Pada regresi linear sederhana, kuadrat koefisien korelasi dapat digunakan sebagai koefisien determinasi.

R² = r²

KD = r² × 100%

Contoh r = 0,8

R² = 0,8² = 0,64

Koefisien determinasi = 64%

Dalam konteks model linear, sekitar 64% variasi y dapat dijelaskan oleh hubungan linear dengan x.

Perhatikan

Kesalahan yang Sering Terjadi

Kesalahan 1 Menganggap korelasi sebagai kausalitas

Hubungan statistik tidak dengan sendirinya membuktikan hubungan sebab-akibat.

Kesalahan 2 Mengabaikan pencilan

Nilai ekstrem dapat memengaruhi garis regresi dan koefisien korelasi.

Kesalahan 3 Ekstrapolasi terlalu jauh

Pola linear pada rentang data belum tentu berlaku jauh di luar rentang tersebut.

Kesalahan 4 Menganggap r = 0 berarti tidak ada hubungan apa pun

Nilai r mendekati nol hanya menunjukkan lemahnya hubungan linear. Hubungan non-linear masih mungkin ada.

Strategi

Lima Langkah Menganalisis Data Bivariat

Kenali Variabel

Tentukan variabel x, variabel y, dan konteks pengamatan.

Buat Diagram Pencar

Periksa arah, bentuk, dan pencilan pada data.

Tentukan Regresi

Gunakan model linear jika pola data cukup sesuai.

Hitung Korelasi

Gunakan nilai r untuk menilai arah dan kekuatan hubungan linear.

Interpretasikan

Jelaskan hasil dalam konteks data, bukan hanya menuliskan angka.

Aktivitas Interaktif

Eksplorasi Regresi dan Korelasi

Masukkan pasangan data, lalu lihat bagaimana diagram pencar, persamaan regresi, korelasi, dan prediksi terbentuk secara otomatis.

Aktivitas 1

Analisis Data Bivariat

Masukkan satu pasangan x dan y per baris dengan format x,y.

Data (x,y)

Banyak Data 6

Rata-rata x 3,5

Rata-rata y 63,5

Regresi ŷ = a + bx

Korelasi r —

Determinasi —

Diagram Pencar dan Garis Regresi

Data siap dianalisis.

Aktivitas 2

Prediksi dengan Regresi

Gunakan garis regresi dari Aktivitas 1 untuk membuat prediksi dan lihat apakah prediksi termasuk interpolasi atau ekstrapolasi.

Nilai x yang diprediksi

Persamaan —

Nilai x 4,5

Prediksi ŷ —

Jenis Prediksi —

Analisis data terlebih dahulu untuk memperoleh model regresi.

Latihan

Coba Kerjakan

Soal 1

Sebuah diagram pencar menunjukkan bahwa ketika x meningkat, y cenderung meningkat. Apa arah korelasinya?

Lihat Jawaban

Hubungan tersebut merupakan korelasi positif.

Soal 2

Diketahui model regresi ŷ = 40 + 6x. Tentukan prediksi y ketika x = 5.

Lihat Jawaban

ŷ = 40 + 6(5) = 40 + 30 = 70.

Soal 3

Nilai aktual y = 82, sedangkan model memprediksi ŷ = 78. Tentukan residunya.

Lihat Jawaban

e = y − ŷ = 82 − 78 = 4.

Soal 4

Jika koefisien korelasi r = −0,9, tentukan koefisien determinasinya.

Lihat Jawaban

r² = (−0,9)² = 0,81. Jadi koefisien determinasi = 81%.

Kuis

Periksa Pemahamanmu

Grafik yang sesuai untuk melihat pola hubungan dua variabel kuantitatif adalah...

Pada persamaan ŷ = a + bx, nilai b menyatakan...

Jika r = −0,85, arah hubungan linear kedua variabel adalah...

Jika r = 0,8, koefisien determinasi dalam persen adalah...

Ringkasan

Statistika

✓ Diagram pencar digunakan untuk melihat pola hubungan dua variabel kuantitatif.

✓ Regresi linear mempunyai bentuk ŷ = a + bx.

✓ Residu adalah e = y − ŷ.

✓ Interpolasi dilakukan dalam rentang data, sedangkan ekstrapolasi dilakukan di luar rentang data.

✓ Koefisien korelasi memenuhi −1 ≤ r ≤ 1.

✓ Tanda r menunjukkan arah hubungan linear.

✓ Besar |r| menunjukkan kekuatan hubungan linear.

✓ Koefisien determinasi dapat dihitung melalui r² × 100%.