03 Matematika SMA/SMK Kelas 12

Kombinatorik

Pelajari bagaimana menghitung banyak kemungkinan tanpa menuliskan semuanya, membedakan permutasi dan kombinasi, serta menggunakan teknik pencacahan untuk menentukan peluang.

Mulai Materi Semua Materi

n! Faktorial

ⁿPᵣ Permutasi

ⁿCᵣ Kombinasi

Peta Kombinatorik

Masalah Berapa Banyak?

Urutan Penting Permutasi ABC ≠ BAC

Urutan Tidak Penting Kombinasi ABC = BAC

Permutasi n!/(n−r)!

Kombinasi n!/[r!(n−r)!]

Peluang n(A)/n(S)

01 Tujuan 02 Pencacahan 03 Faktorial 04 Permutasi 05 Kombinasi 06 Peluang 07 Aktivitas 08 Latihan 09 Kuis 10 Ringkasan

Tujuan Pembelajaran

Apa yang Akan Kamu Kuasai?

Kombinatorik membantu menghitung banyak kemungkinan secara sistematis dan menjadi dasar penting dalam mempelajari peluang.

Menggunakan aturan penjumlahan dan perkalian dalam pencacahan.

Menggunakan notasi dan sifat faktorial.

Menentukan banyak permutasi pada berbagai situasi.

Menentukan banyak kombinasi ketika urutan tidak diperhatikan.

Menggunakan kombinatorik untuk menghitung peluang kejadian.

Menganalisis peluang saling lepas, saling bebas, dan bersyarat.

Kaidah Pencacahan

Menghitung Tanpa Mendaftar Semua Kemungkinan

Kaidah pencacahan membantu menentukan banyak kemungkinan suatu kejadian secara efisien.

Aturan Penjumlahan m + n

Digunakan ketika pilihan berasal dari beberapa kelompok yang tidak dilakukan secara bersamaan.

Aturan Perkalian m × n

Digunakan ketika suatu proses terdiri atas beberapa tahap berurutan.

Pengisian Tempat n₁ × n₂ × ... × nₖ

Banyak pilihan pada setiap posisi dikalikan untuk mendapatkan jumlah seluruh kemungkinan.

Contoh

Memilih Pakaian

Seseorang mempunyai 4 kemeja dan 3 celana. Berapa banyak pasangan pakaian yang dapat dibuat?

Kemeja 4 pilihan

Celana 3 pilihan

Total 12 cara

Faktorial

Perkalian Bilangan Bulat Berurutan

n! = n(n−1)(n−2)...3·2·1

Contoh 5!

5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Nilai Khusus 1! = 1

Hanya terdapat satu cara menyusun satu objek.

Nilai Khusus 0! = 1

Definisi ini menjaga konsistensi berbagai rumus kombinatorik.

Permutasi

Ketika Urutan Menjadi Penting

Susunan ABC berbeda dengan BAC. Karena posisi berubah, keduanya dihitung sebagai hasil berbeda.

ⁿPᵣ = n! / (n−r)!

Semua Objek P(n,n) = n!

Semua objek berbeda disusun seluruhnya.

Sebagian Objek ⁿPᵣ = n!/(n−r)!

Memilih r objek dari n objek dan memperhatikan urutan.

Unsur Berulang n!/(n₁!n₂!...nₖ!)

Digunakan ketika terdapat beberapa objek yang identik.

Permutasi Siklis (n−1)!

Digunakan untuk susunan melingkar dengan rotasi dianggap sama.

Contoh Permutasi

Memilih Juara 1, 2, dan 3

Terdapat 7 peserta. Berapa susunan berbeda untuk menentukan juara pertama, kedua, dan ketiga?

Karena urutan penting ⁷P₃

= 7!/(7−3)!

= 7!/4!

= 7 × 6 × 5

= 210 susunan

Kombinasi

Ketika Urutan Tidak Diperhatikan

Jika yang penting hanya siapa yang terpilih, maka kelompok ABC sama dengan BAC.

ⁿCᵣ = n! / [r!(n−r)!]

Situasi Pilih 3 siswa dari 10 siswa

Model ¹⁰C₃

Hasil 120 kelompok

Perbandingan

Permutasi atau Kombinasi?

Permutasi Urutan Penting

Juara 1, 2, dan 3
Ketua dan wakil ketua
PIN atau kode
Susunan kursi

Kombinasi Urutan Tidak Penting

Memilih tim
Memilih anggota panitia
Memilih beberapa buku
Memilih sampel

Pertanyaan utama: jika urutan objek ditukar, apakah hasil dianggap berbeda? Jika ya, gunakan permutasi. Jika tidak, gunakan kombinasi.

Peluang

Dari Banyak Kemungkinan Menuju Probabilitas

Teknik pencacahan dapat digunakan untuk menentukan banyak anggota ruang sampel dan banyak hasil yang mendukung suatu kejadian.

P(A) = n(A) / n(S)

Ruang Sampel

Himpunan seluruh hasil yang mungkin dari suatu percobaan.

Kejadian

Himpunan hasil yang memenuhi kondisi tertentu.

P(A)

Peluang

Nilainya berada antara 0 dan 1.

Peluang Kejadian Majemuk

Hubungan Antar-Kejadian

Saling Lepas P(A∪B)=P(A)+P(B)

A dan B tidak dapat terjadi secara bersamaan, sehingga A∩B kosong.

Aturan Umum Gabungan P(A∪B) =P(A)+P(B)−P(A∩B)

Kurangi irisan agar hasil yang sama tidak dihitung dua kali.

Saling Bebas P(A∩B)=P(A)P(B)

Terjadinya A tidak mengubah peluang terjadinya B.

Peluang Bersyarat P(A|B)=P(A∩B)/P(B)

Peluang A dihitung setelah diketahui bahwa B telah terjadi.

Menggabungkan Konsep

Kombinasi dalam Peluang

Contoh

Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 4 bola biru.

Diambil 3 bola sekaligus. Berapa peluang tepat 2 bola yang terambil berwarna merah?

Total Cara C(9,3)=84

Cara Mendukung C(5,2)C(4,1)=40

Peluang 40/84 = 10/21

Perhatikan

Kesalahan yang Sering Terjadi

Kesalahan 1 Salah memilih permutasi atau kombinasi

Periksa dahulu apakah perubahan urutan menghasilkan hasil berbeda.

Kesalahan 2 Salah mengembangkan faktorial

5! berarti 5×4×3×2×1, bukan hanya 5×4.

Kesalahan 3 Menghitung hasil yang sama berulang

Pada kombinasi, kelompok ABC dan BAC adalah kelompok yang sama.

Kesalahan 4 Menganggap semua kejadian saling bebas

Pengambilan tanpa pengembalian biasanya membuat peluang berikutnya berubah.

Strategi

Lima Langkah Menyelesaikan Masalah

Kenali Situasi

Tentukan apa yang sedang dihitung.

Periksa Urutan

Tentukan apakah urutan objek penting atau tidak.

Pilih Aturan

Gunakan pencacahan, permutasi, kombinasi, atau peluang.

Hitung Sistematis

Sederhanakan faktorial sebelum melakukan perkalian besar.

Periksa Kewajaran

Peluang harus berada antara 0 dan 1.

Aktivitas Interaktif

Eksplorasi Kombinatorik

Gunakan kalkulator untuk membandingkan faktorial, permutasi, kombinasi, dan peluang berbasis kombinasi.

Aktivitas 1

Kalkulator Kombinatorik

Pilih operasi kemudian masukkan n dan r.

Operasi

n r

Operasi Permutasi

Rumus 7!/(7−3)!

Hasil 210

Terdapat 210 susunan ketika 3 posisi berbeda dipilih dari 7 objek.

Aktivitas 2

Peluang Pemilihan Tanpa Memperhatikan Urutan

Hitung peluang mendapatkan tepat x objek target ketika memilih r objek dari sebuah kelompok.

Total objek N Objek target K Banyak dipilih r Target terpilih x

Ruang Sampel C(9,3) = 84

Hasil Mendukung C(5,2)C(4,1) = 40

Pecahan 10/21

Peluang 47,619%

Peluang tepat 2 objek target dari 3 pilihan adalah 10/21 atau sekitar 47,619%.

Latihan

Coba Kerjakan

Soal 1

Terdapat 4 pilihan kemeja dan 3 pilihan celana. Berapa banyak pasangan pakaian yang dapat dibuat?

Lihat Jawaban

Gunakan aturan perkalian: 4 × 3 = 12 cara.

Soal 2

Dari 7 peserta akan ditentukan juara pertama, kedua, dan ketiga. Berapa banyak susunannya?

Lihat Jawaban

Urutan penting: ⁷P₃ = 7×6×5 = 210.

Soal 3

Dari 10 siswa akan dipilih 3 siswa untuk sebuah tim. Berapa banyak tim berbeda?

Lihat Jawaban

Urutan tidak penting: ¹⁰C₃ = 120 kelompok.

Soal 4

Sebuah kotak berisi 5 bola merah dan 4 bola biru. Diambil 3 sekaligus. Tentukan peluang tepat 2 bola merah.

Lihat Jawaban

Total: C(9,3)=84. Mendukung: C(5,2)C(4,1)=40. Maka: 40/84 = 10/21.

Kuis

Periksa Pemahamanmu

Suatu proses mempunyai 4 pilihan pada tahap pertama dan 5 pilihan pada tahap kedua. Banyak kemungkinan adalah...

Menentukan ketua, wakil, dan sekretaris dari beberapa orang menggunakan...

Memilih 4 anggota tim dari 10 orang menggunakan...

Jika A dan B saling bebas, maka...

Ringkasan

Kombinatorik

✓ Aturan perkalian digunakan untuk proses bertahap.

✓ n! = n(n−1)...2·1 dan 0!=1.

✓ Permutasi digunakan ketika urutan penting.

✓ ⁿPᵣ = n!/(n−r)!.

✓ Kombinasi digunakan ketika urutan tidak penting.

✓ ⁿCᵣ = n!/[r!(n−r)!].

✓ P(A)=n(A)/n(S) untuk hasil yang setara peluangnya.

✓ Jika A dan B saling bebas, P(A∩B)=P(A)P(B).

✓ Peluang bersyarat: P(A|B)=P(A∩B)/P(B).

✓ Kombinasi dapat digunakan untuk menghitung peluang pemilihan tanpa urutan.

Matematika Kelas 12

Semua Materi Selesai

Kamu telah menyelesaikan Transformasi Fungsi, Busur dan Juring Lingkaran, serta Kombinatorik.

01 Transformasi Fungsi ✓

02 Busur dan Juring Lingkaran ✓

03 Kombinatorik ✓