Materi 3: Transpose, Determinan, dan Invers Matriks Ordo 2x2
Transpose Matriks (Aᵀ)
Transpose matriks adalah operasi yang menukar elemen baris menjadi kolom atau sebaliknya. Transpose dari matriks A dilambangkan dengan Aᵀ.
Contoh: Jika A =
| 2 | 5 |
| 1 | 3 |
| 2 | 1 |
| 5 | 3 |
Visualisasi: Baris 1 [2, 5] menjadi kolom 1, Baris 2 [1, 3] menjadi kolom 2
Kalkulator Transpose Matriks 2x2
Sifat-Sifat Transpose Matriks
- (Aᵀ)ᵀ = A
- (A + B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ
- (kA)ᵀ = kAᵀ (dimana k adalah skalar)
- (AB)ᵀ = BᵀAᵀ
Determinan Matriks Persegi (det(A) atau |A|)
Determinan adalah nilai skalar yang dapat dihitung dari matriks persegi. Untuk matriks 2x2:
| a | b |
| c | d |
Contoh: Jika A =
| 2 | 5 |
| 1 | 3 |
Kalkulator Determinan Matriks 2x2
Signifikansi Determinan
- Jika det(A) = 0, maka matriks A disebut matriks singular dan tidak memiliki invers
- Jika det(A) ≠ 0, maka matriks A disebut matriks non-singular dan memiliki invers
- Determinan digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linear
Invers Matriks (A⁻¹)
Invers matriks A adalah matriks yang ketika dikalikan dengan A menghasilkan matriks identitas. Hanya matriks persegi non-singular yang memiliki invers.
| a | b |
| c | d |
| d | -b |
| -c | a |
Contoh: Jika A =
| 2 | 5 |
| 1 | 3 |
det(A) = (2×3) - (5×1) = 6 - 5 = 1
A⁻¹ = (1/1) ×
| 3 | -5 |
| -1 | 2 |
| 3 | -5 |
| -1 | 2 |
Verifikasi: A × A⁻¹ =
| 2 | 5 |
| 1 | 3 |
| 3 | -5 |
| -1 | 2 |
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
Kalkulator Invers Matriks 2x2
Sifat-Sifat Invers Matriks
- (A⁻¹)⁻¹ = A
- (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹
- (Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ
- A⁻¹A = AA⁻¹ = I (matriks identitas)
Aplikasi AKL: Analisis Rasio Keuangan
Dalam akuntansi, konsep determinan dan invers dapat digunakan dalam analisis rasio keuangan dan perencanaan anggaran.
Contoh: Sebuah perusahaan ingin menganalisis hubungan antara biaya produksi dan volume penjualan. Data disajikan dalam bentuk matriks:
| Biaya Tetap | Biaya Variabel |
| 10.000.000 | 50.000 |
Dengan menggunakan konsep invers, perusahaan dapat menghitung break-even point (titik impas) dimana:
Total Biaya = Total Pendapatan
Dalam bentuk matriks: A × X = B, dimana X adalah vektor solusi yang berisi volume penjualan dan harga jual.
Penyelesaian: X = A⁻¹ × B
Dengan menggunakan kalkulator invers matriks, perusahaan dapat dengan cepat menganalisis berbagai skenario bisnis.
Studi Kasus: Analisis Profitabilitas Produk
Sebuah perusahaan memiliki dua produk dengan data sebagai berikut:
| Produk A | Produk B | |
| Harga Jual | 100.000 | 150.000 |
| Biaya Variabel | 60.000 | 90.000 |
Perusahaan ingin mengetahui kombinasi penjualan optimal untuk mencapai target laba tertentu. Dengan menggunakan matriks invers, sistem ini dapat diselesaikan secara efisien.
Kuis: Transpose, Determinan, dan Invers Matriks
Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut untuk menguji pemahaman Anda!
1. Transpose dari matriks A adalah...
2. Jika A =
, maka det(A) = ...3 2 1 4
3. Syarat sebuah matriks memiliki invers adalah...
4. Jika A =
, maka Aᵀ = ...2 1 3 4
5. Dalam konteks akuntansi, invers matriks dapat digunakan untuk...