Materi 4: Aplikasi Matriks dalam Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Bentuk Umum SPLDV

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) terdiri dari dua persamaan linear dengan dua variabel yang tidak diketahui.

Bentuk umum:
ax + by = p
cx + dy = q

Dimana a, b, c, d adalah koefisien, dan p, q adalah konstanta.

Mengubah SPLDV ke Bentuk Matriks

SPLDV dapat diubah menjadi bentuk matriks A × X = B, dimana:

A =
a b
c d
×
X =
x
y
=
B =
p
q

Contoh: Ubah SPLDV berikut ke bentuk matriks:

2x + 3y = 8

4x - y = 6

Penyelesaian:

A =
2 3
4 -1
×
X =
x
y
=
B =
8
6

Penyelesaian dengan Invers Matriks

Jika A adalah matriks koefisien yang memiliki invers, maka solusi SPLDV dapat dicari dengan rumus:

X = A⁻¹ × B

Langkah-langkah Penyelesaian:

Langkah 1: Tentukan matriks koefisien A dan matriks konstanta B
Langkah 2: Hitung determinan matriks A
Langkah 3: Jika det(A) ≠ 0, hitung invers matriks A⁻¹
Langkah 4: Kalikan A⁻¹ dengan B untuk mendapatkan solusi X

Contoh Lengkap: Selesaikan SPLDV berikut menggunakan matriks:

2x + 3y = 8

4x - y = 6

Penyelesaian:

Langkah 1: Bentuk matriks A dan B

A =
2 3
4 -1
B =
8
6

Langkah 2: Hitung determinan A

det(A) = (2 × -1) - (3 × 4) = -2 - 12 = -14

Langkah 3: Hitung invers A⁻¹

A⁻¹ = (1/-14) ×

-1 -3
-4 2
=
1/14 3/14
2/7 -1/7

Langkah 4: Hitung X = A⁻¹ × B

X =
1/14 3/14
2/7 -1/7
×
8
6
=
(1/14)×8 + (3/14)×6
(2/7)×8 + (-1/7)×6
=
26/14
10/7
=
13/7
10/7

Jadi, solusinya adalah: x = 13/7, y = 10/7

Kalkulator Penyelesaian SPLDV dengan Matriks

x + y =
x + y =
Hasil akan muncul di sini

Aplikasi AKL: Analisis Break-Even Point

Dalam akuntansi dan keuangan, SPLDV dengan matriks dapat digunakan untuk menganalisis break-even point (titik impas) perusahaan.

Studi Kasus: Perusahaan "Sukses Jaya"

Perusahaan "Sukses Jaya" memproduksi dua jenis produk: A dan B. Data biaya dan pendapatan sebagai berikut:

  • Biaya tetap total: Rp 50.000.000
  • Biaya variabel produk A: Rp 20.000 per unit
  • Biaya variabel produk B: Rp 30.000 per unit
  • Harga jual produk A: Rp 50.000 per unit
  • Harga jual produk B: Rp 70.000 per unit

Persamaan Break-Even:

Total Pendapatan = Total Biaya

50.000x + 70.000y = 50.000.000 + 20.000x + 30.000y

Dimana x = jumlah produk A, y = jumlah produk B

Penyederhanaan:

30.000x + 40.000y = 50.000.000

3x + 4y = 5.000

Jika target laba Rp 10.000.000:

30.000x + 40.000y = 60.000.000

3x + 4y = 6.000

Dengan menggunakan matriks, perusahaan dapat menghitung kombinasi produksi optimal untuk mencapai target laba.

Studi Kasus: Analisis Harga Pokok Penjualan

Sebuah perusahaan dagang ingin menganalisis harga pokok penjualan untuk dua produk. Data sebagai berikut:

Persamaan:

2x + 3y = 5.000.000 (total biaya pembelian)

x + 2y = 3.000.000 (total biaya operasional)

Dimana x = harga pokok produk A, y = harga pokok produk B

Penyelesaian dengan Matriks:

A =
2 3
1 2
×
X =
x
y
=
B =
5.000.000
3.000.000

det(A) = (2×2) - (3×1) = 4 - 3 = 1

A⁻¹ =

2 -3
-1 2

X = A⁻¹ × B =

2 -3
-1 2
×
5.000.000
3.000.000
=
1.000.000
1.000.000

Kesimpulan: Harga pokok produk A = Rp 1.000.000, produk B = Rp 1.000.000

Keunggulan Metode Matriks

  • Efisien: Dapat menyelesaikan sistem yang kompleks dengan cepat
  • Sistematis: Langkah-langkah yang terstruktur dan mudah diikuti
  • Aplikatif: Dapat diterapkan dalam berbagai masalah bisnis dan akuntansi
  • Skalabel: Dapat dikembangkan untuk sistem dengan lebih banyak variabel

Kuis: Aplikasi Matriks dalam Penyelesaian SPLDV

Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut untuk menguji pemahaman Anda!

1. Bentuk matriks dari SPLDV: 3x + 2y = 7 dan x - y = 1 adalah...

  • 32
    1-1
    ×
    x
    y
    =
    7
    1
  • 32
    1-1
    ×
    x
    y
    =
    7
    1
  • 31
    2-1
    ×
    x
    y
    =
    7
    1
  • 71
    32
    ×
    x
    y
    =
    3
    1

2. Rumus untuk mencari solusi SPLDV dengan matriks adalah...

  • X = A × B
  • X = B × A
  • X = A⁻¹ × B
  • X = B⁻¹ × A

3. Jika det(A) = 0 dalam SPLDV, maka...

  • SPLDV memiliki tepat satu solusi
  • SPLDV memiliki tak hingga solusi
  • SPLDV tidak memiliki solusi atau memiliki tak hingga solusi
  • SPLDV selalu memiliki solusi

4. Dalam konteks akuntansi, SPLDV dengan matriks dapat digunakan untuk...

  • Menyusun laporan laba rugi
  • Menganalisis break-even point
  • Menghitung pajak penghasilan
  • Membuat jurnal penutup

5. Keunggulan metode matriks dalam menyelesaikan SPLDV adalah...

  • Hanya bisa untuk dua variabel
  • Efisien dan sistematis
  • Memerlukan perhitungan manual yang rumit
  • Hanya berlaku untuk bilangan bulat
Materi Sebelumnya Materi Selanjutnya