05 Matematika SMP Kelas 8

Geometri dan Pythagoras

Pelajari hubungan panjang sisi pada segitiga siku-siku, gunakan Teorema Pythagoras untuk menentukan panjang yang belum diketahui, dan terapkan konsep tersebut pada jarak serta masalah geometri.

Mulai Materi Semua Materi

a² Sisi Siku-siku

b² Sisi Siku-siku

c² Hipotenusa

Segitiga 3 • 4 • 5

3² + 4² = 5² 9 + 16 = 25

01 Tujuan 02 Segitiga 03 Pythagoras 04 Tripel 05 Jarak 06 Aktivitas 07 Kuis 08 Ringkasan

Tujuan Pembelajaran

Setelah Belajar, Kamu Diharapkan Bisa

Teorema Pythagoras menghubungkan aljabar dan geometri melalui panjang sisi sebuah segitiga siku-siku.

Mengenali sisi-sisi pada segitiga siku-siku.

Menggunakan a² + b² = c² untuk mencari panjang sisi.

Mengenali beberapa tripel Pythagoras.

Menerapkan Pythagoras untuk menentukan jarak dan menyelesaikan masalah geometri.

Segitiga Siku-siku

Kenali Sisi dan Sudutnya

Segitiga siku-siku memiliki satu sudut sebesar 90°. Sisi di depan sudut siku-siku disebut hipotenusa dan merupakan sisi terpanjang.

a sisi siku-siku

b sisi siku-siku

c hipotenusa

Teorema Pythagoras

Hubungan Kuadrat Ketiga Sisi

Untuk segitiga siku-siku dengan hipotenusa c, berlaku hubungan berikut.

Teorema Pythagoras a² + b² = c²

sisi siku-siku

hipotenusa

Contoh 1

Mencari Hipotenusa

Diketahui a = 6 dan b = 8. Tentukan c.

Rumus a² + b² = c²

Substitusi 6² + 8² = c²

Hitung 36 + 64 = 100

Hipotenusa c = 10

Contoh 2

Mencari Sisi Siku-siku

Jika hipotenusa c = 13 dan salah satu sisi a = 5, sisi b dapat dicari dengan memindahkan a².

Mulai 5² + b² = 13²

Susun b² = 169 − 25

Hitung b² = 144

Hasil b = 12

Tripel Pythagoras

Tiga Bilangan Bulat yang Memenuhi Pythagoras

Beberapa kelompok bilangan bulat sering muncul sebagai panjang sisi segitiga siku-siku.

Tripel 3 • 4 • 5

3² + 4² = 5²

9 + 16 = 25

Tripel 5 • 12 • 13

5² + 12² = 13²

25 + 144 = 169

Tripel 8 • 15 • 17

8² + 15² = 17²

64 + 225 = 289

Membandingkan Kuadrat Sisi

Siku-siku, Lancip, atau Tumpul?

Ambil c sebagai sisi terpanjang, lalu bandingkan c² dengan a² + b².

Siku-siku c² = a² + b²

Salah satu sudut tepat 90°.

Lancip c² < a² + b²

Ketiga sudut kurang dari 90°.

Tumpul c² > a² + b²

Salah satu sudut lebih dari 90°.

Syarat awal:

Ketiga panjang sisi harus terlebih dahulu memenuhi ketaksamaan segitiga.

Jarak Dua Titik

Pythagoras pada Bidang Koordinat

Selisih koordinat x dan selisih koordinat y membentuk dua sisi sebuah segitiga siku-siku. Jarak kedua titik menjadi hipotenusanya.

Jarak A(x₁, y₁) ke B(x₂, y₂) d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

Δx = x₂ − x₁

Δy = y₂ − y₁

Contoh Jarak

A(1, 2) dan B(4, 6)

Perubahan x 4 − 1 = 3

Perubahan y 6 − 2 = 4

Pythagoras d² = 3² + 4²

Jarak d = 5

Penerapan

Pythagoras di Sekitar Kita

Tangga Tinggi dinding

Panjang tangga, jarak kaki tangga, dan tinggi dinding membentuk segitiga siku-siku.

Persegi Panjang Panjang diagonal

Panjang, lebar, dan diagonal membentuk segitiga siku-siku.

Koordinat Jarak dua titik

Selisih horizontal dan vertikal digunakan untuk menentukan jarak.

Strategi

Empat Langkah Menggunakan Pythagoras

Kenali Segitiga

Pastikan terdapat hubungan segitiga siku-siku.

Tentukan Hipotenusa

Hipotenusa adalah sisi di depan sudut 90°.

Gunakan Rumus

Substitusikan panjang ke a² + b² = c².

Periksa

Pastikan hasil positif dan masuk akal terhadap ukuran sisi.

Aktivitas Interaktif

Laboratorium Pythagoras

Ubah panjang sisi dan amati bagaimana hubungan geometrinya berubah.

Aktivitas 1

Kalkulator Hipotenusa

Ubah panjang a dan b. Nilai hipotenusa c dihitung menggunakan Pythagoras.

Sisi a a = 3

Sisi b b = 4

Rumus 3² + 4² = c²

a² 9

b² 16

c² 25

c 5

Karena √25 = 5, hipotenusanya adalah 5.

Aktivitas 2

Pemeriksa Tiga Sisi

Masukkan tiga panjang sisi. Sistem akan memeriksa apakah ketiganya membentuk segitiga dan menentukan jenisnya.

Sisi 1

Sisi 2

Sisi 3

Sisi Terurut 3, 4, 5

Jenis Berdasarkan Sisi Segitiga sembarang

Perbandingan Kuadrat 5² = 3² + 4²

Jenis Sudut Segitiga siku-siku

✓ Membentuk segitiga

Sisi 3, 4, dan 5 membentuk segitiga siku-siku.

Latihan

Coba Kerjakan

Soal 1

Sebuah tangga panjangnya 5 m. Kaki tangga berjarak 3 m dari dinding. Berapa tinggi yang dicapai?

Lihat Jawaban

Misalkan tinggi = h. h² + 3² = 5², sehingga h² = 25 − 9 = 16. Jadi h = 4 m.

Soal 2

Sebuah persegi panjang berukuran 6 cm × 8 cm. Berapa panjang diagonalnya?

Lihat Jawaban

d² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Jadi d = 10 cm.

Soal 3

Apakah sisi 7, 24, dan 25 membentuk segitiga siku-siku?

Lihat Jawaban

7² + 24² = 49 + 576 = 625, sedangkan 25² = 625. Jadi ya, segitiga tersebut siku-siku.

Kuis

Periksa Pemahamanmu

Pilih satu jawaban untuk setiap pertanyaan.

Segitiga siku-siku memiliki sisi siku-siku 6 dan 8. Panjang hipotenusanya adalah...

Pada segitiga dengan panjang sisi 5, 12, dan 13, sisi hipotenusanya adalah...

Jarak titik A(1, 2) dan B(4, 6) adalah...

Sisi 6, 8, dan 10 membentuk segitiga...

Ringkasan

Geometri dan Pythagoras

✓ Hipotenusa adalah sisi di depan sudut siku-siku.

✓ Pada segitiga siku-siku, berlaku a² + b² = c².

✓ Tripel Pythagoras merupakan tiga bilangan bulat yang memenuhi hubungan tersebut.

✓ Pythagoras dapat digunakan untuk diagonal, jarak, dan berbagai masalah geometri.